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高斯消元法的算法描述

来源:www.moneyprint.net 时间:2024-04-17 18:36:40 作者:远虑算法网 浏览: [手机版]

  高斯消元法是一线性代数中求解线性方程组的常用方法,基本思想是通过一列的行变数矩阵化为一个上三角矩阵,然后通过回带求解出未知数的值远虑算法网www.moneyprint.net

算法描述如下:

  1. 将线性方程组的数矩阵和常数向量组合成增广矩阵,即

$$\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & b_n\end{bmatrix}$$

  2. 对增广矩阵进行初等行变,将矩阵化为上三角矩阵。具操作如下:

a. 将第一行乘以一个数$k$,加到第二行上,消$a_{21}$的数。

b. 将第一行乘以一个数$k$,加到第三行上,消$a_{31}$的www.moneyprint.net。以此类推,将第一行乘以数$k$加到第$i$行上,消$a_{i1}$的数。

  c. 将第二行乘以一个数$k$,加到第三行上,消$a_{32}$的数。以此类推,将第$i$行乘以数$k$加到第$j$行上,消$a_{ji}$的远 虑 算 法 网

  d. 重复以上步骤,直到将整个矩阵化为上三角矩阵。

3. 从最后一行开始,通过回带求解未知数的值。具操作如下:

  a. 对于最后一行,未知数$x_n$的值为$b_n/a_{nn}$远虑算法网

  b. 对于倒数第二行,未知数$x_{n-1}$的值为$(b_{n-1}-a_{n-1,n}x_n)/a_{n-1,n-1}$。

高斯消元法的算法描述(1)

  c. 以此类推,对于第$i$行,未知数$x_i$的值为$(b_i-\sum_{j=i+1}^na_{ij}x_j)/a_{ii}$。

  4. 得到线性方程组的解向量$(x_1,x_2,\cdots,x_n)$www.moneyprint.net远虑算法网

高斯消元法的复杂度为$O(n^3)$,复杂度为$O(n^2)$。在实际应用中,由于矩阵的稀疏性,可以采用稀疏矩阵的储方式来优化算法效率。

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