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证明下降算法

来源:www.moneyprint.net 时间:2024-04-04 17:21:10 作者:远虑算法网 浏览: [手机版]

在机器学习和优化问题中,下降算法是一类常用的优化算法,其核思想是通过迭代逐降低目标数的值,最终找到数的最小值moneyprint.net。本文将介绍下降算法的原理和证明

证明下降算法(1)

一、下降算法的原理

  下降算法是一种迭代算法,其基本思路是从一个初始点开始,迭代地沿着目标数的梯度方向走一,直到达到数的最小值。具体来说,下降算法可以表示为以下迭代公式:

  $$x_{k+1} = x_k - \alpha_k \nabla f(x_k)$$

  其中,$x_k$表示第k次迭代的点,$\alpha_k$表示长,$\nabla f(x_k)$表示数在点$x_k$处的梯度。下降算法的核思想是通过逐调整长和方向,使得目标数值不断降低,最终达到数的最小值。

二、下降算法的证明

下降算法的正性可以通过数学证明来验证。具体来说,下降算法的证明需证明以下两个定理:

  定理1:如果数$f(x)$是凸数,那么下降算法的每一都会使得数值下降。

  定理2:如果数$f(x)$是二次数,那么下降算法的每一都会使得数值下降,并且可以在有限内达到数的最小值远.虑.算.法.网

下面分别对这两个定理进行证明。

  1. 定理1的证明

  首先,们需证明一个引理:

引理1: 对于任意的向量$u$和$v$,有$u^Tv \leq ||u||_2||v||_2$。

  证明:由柯-施瓦茨不等式可得:

  $$u^Tv \leq ||u||_2||v||_2$$

  因此,引理1成

现在,们来证明定理1。假设数$f(x)$是凸数,那么对于任意的$x$和$y$,都有:

  $$f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)$$

  其中,$\lambda \in [0,1]$。

  对上式两边求可得:

  $$\nabla f(\lambda x + (1-\lambda)y) = \lambda \nabla f(x) + (1-\lambda) \nabla f(y)$$

  因此,们可以得到:

$$\begin{aligned} f(y) - f(x) &\geq \nabla f(x)^T(y-x) \\ &\geq -||\nabla f(x)||_2||y-x||_2 \\ &\geq -\frac{1}{\alpha}||\nabla f(x)||_2^2 \end{aligned}$$

  其中,$\alpha$表示长。

  由引理1可得:

  $$\nabla f(x)^T(y-x) \leq ||\nabla f(x)||_2||y-x||_2$$

因此,们可以得到:

  $$f(y) - f(x) \geq -\frac{1}{\alpha}||\nabla f(x)||_2^2$$

由于$\nabla f(x)$是数$f(x)$在点$x$处的梯度,因此$\nabla f(x) \neq 0$远虑算法网www.moneyprint.net。又因为$\alpha$是一个正数,所以上式右侧一定小于零,即:

  $$f(y) - f(x) < 0$$

因此,们证明了定理1。

  2. 定理2的证明

  定理2的证明需用到矩阵的特征值和特征向量。假设数$f(x)$是二次数,即:

  $$f(x) = x^TAx + b^Tx + c$$

  其中,$A$是一个对称正定矩阵,$b$和$c$是常数。

  们将下降算法表示为以下形式:

  $$x_{k+1} = x_k - \alpha_k \nabla f(x_k)$$

  其中,$\nabla f(x_k) = 2Ax_k + b$。

  们将$x_k$表示为以下形式:

$$x_k = Q\Lambda^kQ^Tx_0$$

  其中,$Q$是$A$的特征向量矩阵,$\Lambda$是$A$的特征值矩阵,$x_0$是初始点。

  们将下降算法表示为以下形式:

$$x_{k+1} = Q\Lambda^{k+1}Q^Tx_0 - \alpha_k 2AQ\Lambda^kQ^Tx_0 - \alpha_kb$$

  们将上式中的第一表示为:

$$Q\Lambda^{k+1}Q^Tx_0 = Q\Lambda^k\Lambda Q^Tx_0 = Q\Lambda^kQ^T(Q\Lambda Q^Tx_0)$$

由于$A$是对称正定矩阵,因此可以将其分解为$A=Q\Lambda Q^T$的形式。因此,们可以将上式表示为:

  $$Q\Lambda^{k+1}Q^Tx_0 = Ax_k$$

  将上式代入下降算法的迭代公式可得:

  $$x_{k+1} = Ax_k - \alpha_k 2Ax_k - \alpha_kb$$

整理上式可得:

  $$x_{k+1} = (I-\alpha_k 2A)x_k - \alpha_kb$$

  因此,们可以得到:

$$x_k = (I-\alpha_k 2A)^kx_0 - \sum_{i=0}^{k-1}(I-\alpha_i 2A)^i \alpha_ib$$

现在,们需证明当$k \rightarrow \infty$时,$x_k$趋向于数的最小值远虑算法网www.moneyprint.net。由于$A$是对称正定矩阵,因此可以将其分解为$A=Q\Lambda Q^T$的形式。因此,们可以将$x_k$表示为:

  $$x_k = \sum_{i=1}^n(I-\alpha_k 2\lambda_i)^k\langle x_0,q_i\rangle q_i - \sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{k-1}(I-\alpha_j 2\lambda_i)^j \alpha_i\langle b,q_i\rangle q_i$$

其中,$\lambda_i$和$q_i$分别表示矩阵$A$的第$i$个特征值和特征向量。

  由于$A$是对称正定矩阵,因此其特征值均为正数。因此,当$k \rightarrow \infty$时,$(I-\alpha_k 2\lambda_i)^k$趋向于零。因此,第一趋向于数的最小值。

对于第二,由于$\alpha_i$是一个正数,因此可以将其表示为:

  $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{k-1}(I-\alpha_j 2\lambda_i)^j \alpha_i\langle b,q_i\rangle q_i \leq \sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{k-1}(I-\alpha_j 2\lambda_{\min})^j \alpha_i\langle b,q_i\rangle q_i$$

  其中,$\lambda_{\min}$表示矩阵$A$的最小特征值。由于$\lambda_{\min}$是一个正数,因此当$k \rightarrow \infty$时,第二趋向于零www.moneyprint.net远虑算法网

  因此,当$k \rightarrow \infty$时,$x_k$趋向于数的最小值。

  综上所述,们证明了定理2。

证明下降算法(2)

三、总结

  下降算法是一种常用的优化算法,其核思想是通过迭代逐降低目标数的值,最终找到数的最小值。本文介绍了下降算法的原理和证明,证明了下降算法的正性。在实际应用中,下降算法可以通过调整长和方向来优化数,可以用于解决机器学习和优化问题。

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