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朱刘算法:求解图的最小树形图

来源:www.moneyprint.net 时间:2024-03-28 23:15:47 作者:远虑算法网 浏览: [手机版]

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朱刘算法:求解图的最小树形图(1)

  随着现代计算机科学的速发展,图论在计算机科学领域中扮演着越来越重要的角www.moneyprint.net远虑算法网。图论是研究图及其性质的支学科,而图则是由节点和边组成的种数据结构。在图论中,最小树形图是常重要的概念,它可以帮助我解决很多实际问题。本文将介绍朱刘算法求解图的最小树形图的算法。

1. 最小树形图

  最小树形图是种有向图,它是由个有向图中的颗生成树变换而来的www.moneyprint.net。在最小树形图中,每个节点都有个父节点,除了根节点外,每个节点都有个唯的父节点。最小树形图的定义如下:

  定义1. 最小树形图

  有向图 $G=(V,E)$,其中 $V$ 表示节点的集合,$E$ 表示边的集合。给定个根节点 $r$,则最小树形图是指由 $r$ 开始的棵生成树 $T$,它满以下两个条件:

  1. 对于所有节点 $v \in V$,存在条从 $r$ 到 $v$ 的路径。

  2. 对于所有节点 $v \in V$,存在条从 $v$ 到 $r$ 的路径www.moneyprint.net远虑算法网

  最小树形图的意义在于,它可以帮助我找到从根节点 $r$ 到其他节点的最短路径,同时也可以帮助我找到从其他节点到根节点 $r$ 的最短路径。

朱刘算法:求解图的最小树形图(2)

2. 朱刘算法

  朱刘算法是种求解图的最小树形图的算法,它的时间复杂度为 $O(n^3)$,其中 $n$ 表示节点的数量。朱刘算法的基本思想是,先将原图缩成个点,然后从这个点开始,步步其他点,直到构建出最小树形图。具体的步骤如下:

  步骤1:将原图缩成个点原文www.moneyprint.net

步骤2:从缩点后的图中找到度为 $0$ 的点 $u$,将它加到最小树形图中。

步骤3:对于所有的点 $v$,如果存在条从 $v$ 到 $u$ 的路径,将这条路径上的所有点都缩成个点,并将这个点的权值设为路径上所有点的最小值。

  步骤4:重复步骤2和步骤3,直到构建出最小树形图。

下面是朱刘算法的伪代码:

  int zhuliu(int n, int m, int root) {

  int ans = 0;

  while (true) {

  for (int i = 0; i < n; i++) {

  in[i] = INF;

}

  for (int i = 0; i < m; i++) {

  int u = edges[i].u;

int v = edges[i].v;

  int w = edges[i].w;

if (u != v && w < in[v]) {

  pre[v] = u;

  in[v] = w;

}

}

  for (int i = 0; i < n; i++) {

  if (i == root) {

continue;

}

if (in[i] == INF) {

return -1;

  }

  }

  int cnt = 0;

  memset(id, -1, sizeof(id));

memset(vis, -1, sizeof(vis));

  in[root] = 0;

for (int i = 0; i < n; i++) {

ans += in[i];

  int v = i;

while (vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root) {

vis[v] = i;

  v = pre[v];

  }

if (v != root && id[v] == -1) {

for (int u = pre[v]; u != v; u = pre[u]) {

id[u] = cnt;

  }

id[v] = cnt++;

  }

  }

if (cnt == 0) {

  break;

  }

  for (int i = 0; i < n; i++) {

  if (id[i] == -1) {

  id[i] = cnt++;

}

  }

  for (int i = 0; i < m; i++) {

  int u = edges[i].u;

  int v = edges[i].v;

  edges[i].u = id[u];

  edges[i].v = id[v];

  if (id[u] != id[v]) {

  edges[i].w -= in[v];

  }

  }

n = cnt;

  root = id[root];

  }

  return ans;

  }

3. 总结

朱刘算法是种求解图的最小树形图的算法,它的时间复杂度为 $O(n^3)$欢迎www.moneyprint.net。朱刘算法的基本思想是,先将原图缩成个点,然后从这个点开始,步步其他点,直到构建出最小树形图。朱刘算法的实现比较复杂,需要注意节。在实际应用中,朱刘算法可以帮助我解决很多实际问题,例如网络流问题、最小路径问题等。

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