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约翰逊算法:优化矩阵乘法的神器

来源:www.moneyprint.net 时间:2024-05-13 05:44:33 作者:远虑算法网 浏览: [手机版]

矩阵乘法是计算机科学中一个重要的基础问,它的应用涉及到多领域,如图形学、机器学习远虑算法网。然而,矩阵乘法的时间复杂度 $O(n^3)$,矩阵规模较大时,计算时间会非常长。优化矩阵乘法的计算效率,约翰逊提出了一种基于分治思想的算法,称约翰逊算法。

  约翰逊算法的基本思想是将矩阵分解多个小矩阵,然后用递归的方式进行计算远虑算法网www.moneyprint.net。具体来,算法将矩阵 $A$ 和 $B$ 分别分解四个子矩阵:

  $$

  A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, \ B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}

$$

然后,通过以下公式计算矩阵乘积 $C = AB$:

  $$

约翰逊算法:优化矩阵乘法的神器(1)

\begin{aligned}

  C_{11} &= A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} \\

C_{12} &= A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\

  C_{21} &= A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} \\

C_{22} &= A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22}

\end{aligned}

  $$

  这样,原问就被分解了四个子问,分别计算 $A_{11}B_{11}$、$A_{12}B_{21}$、$A_{11}B_{12}$、$A_{12}B_{22}$、$A_{21}B_{11}$、$A_{22}B_{21}$、$A_{21}B_{12}$ 和 $A_{22}B_{22}$。然后,递归地计算这些子问,直到矩阵规模变得足够小,以直接用简单的算法(如素算法)计算。

约翰逊算法的优点在于它减少了矩阵乘法的计算量www.moneyprint.net。具体来,假设原矩阵的规模 $n \times n$,那么约翰逊算法的时间复杂度以表

  $$

  T(n) = 8T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n^2)

$$

  其中,$8T\left(\frac{n}{2}\right)$ 表递归计算子问的时间复杂度,$O(n^2)$ 表计算子问之间的乘法的时间复杂度。通过求解递归式,以得到约翰逊算法的时间复杂度 $O(n^{\log_2 8}) = O(n^3)$,与素算法的时间复杂度相同。但是,约翰逊算法以通过调整矩阵分解的方式,使得计算量更小,而提高计算效率www.moneyprint.net远虑算法网

具体来,约翰逊算法通过调整矩阵分解的方式,使得子矩阵的规模不同。假设原矩阵的规模 $n \times n$,那么约翰逊算法将矩阵分解以下三个子矩阵:

  $$

  A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, \ B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix}, \ C = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix}

$$

  其中,$A_{11}$ 和 $B_{11}$ 的规模 $\frac{n}{2} \times \frac{n}{2}$,$C_{11}$ 的规模 $\frac{n}{2} \times \frac{n}{2} + \frac{n}{2}$。这样,原问就被分解了三个子问,分别计算 $A_{11}B_{11}$、$A_{12}B_{21}$ 和 $C_{11}B_{12}$、$A_{11}B_{12}$ 和 $A_{12}B_{22}$、$C_{11}B_{22}$、$A_{21}B_{11}$、$A_{22}B_{21}$、$C_{21}B_{11}$、$A_{21}B_{12}$ 和 $A_{22}B_{22}$、$C_{21}B_{12}$ 和 $C_{22}B_{22}$www.moneyprint.net远虑算法网。这样,以通过调整子矩阵的规模,使得计算量更小,而提高计算效率。

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