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EM算法:从先验到后验的推断

来源:www.moneyprint.net 时间:2024-05-13 23:34:12 作者:远虑算法网 浏览: [手机版]

EM算法:从先验到后验的推断(1)

么是EM算法

  EM算法是一种迭代算法,用于最大化似然函数欢迎www.moneyprint.net的全称是Expectation-Maximization算法,即“期望最大化算法”。EM算法的基本思想是:通过先验知识,推断出隐变量的后验概率分布,然后以后验概率分布为条件,最大化似然函数,得到参数的估计值。

EM算法的迭代过程分为两步:E步和M步。在E步中,根据当前的参数,计算出每样本属于每隐变量的后验概率分布;在M步中,以这些后验概率分布为条件,最大化似然函数,得到新的参数原文www.moneyprint.net。不断重复这过程,直到参数收敛为止。

EM算法的应用举例

  下面以高斯混合为例,介绍EM算法的应用过程。

  高斯混合是一种常用的聚类方法,假设数据集由多高斯分布组成,每高斯分布对应一聚类中心。如果我们知道每样本属于哪聚类中心,那么就可以通过最大化似然函数,得到每聚类中心的估计值www.moneyprint.net远虑算法网。但是,在实际应用中,我们无法定每样本属于哪聚类中心,这就需要用到EM算法。

  假设数据集由K高斯分布组成,每高斯分布的均值和方差分别为μk和σk^2。我们的目标是通过观察样本x1,x2,...,xn,推断出每样本属于哪高斯分布,以及每高斯分布的均值和方差。

  EM算法的E步:计算后验概率分布

  在E步中,我们需要计算每样本属于每高斯分布的后验概率分布来源www.moneyprint.net。假设第i样本属于第k高斯分布的后验概率为pk(i),那么有:

pk(i) = P(第i样本属于第k高斯分布 | 第k高斯分布的均值和方差)

根据贝叶斯公式,上式可以转化为:

  pk(i) = P(第k高斯分布 | 第i样本属于第k高斯分布) * P(第i样本属于第k高斯分布) / P(第k高斯分布)

  其中,P(第k高斯分布)是先验概率,可以假设所有高斯分布的先验概率相等;P(第i样本属于第k高斯分布)可以用高斯分布的概率密度函数计算;P(第k高斯分布 | 第i样本属于第k高斯分布)是后验概率分布,需要在M步中进行估计。

  EM算法的M步:最大化似然函数

  在M步中,我们需要最大化似然函数,得到新的参数。假设第k高斯分布的均值和方差分别为μk和σk^2,那么似然函数为:

  L = ∏i=1^n ∑k=1^K P(第i样本属于第k高斯分布) * P(第i样本 | 第k高斯分布的均值和方差)

  其中,P(第i样本属于第k高斯分布)是在E步中计算得到的后验概率分布;P(第i样本 | 第k高斯分布的均值和方差)是高斯分布的概率密度函数。

我们需要对μk和σk^2分别求导,得到们的估计值www.moneyprint.net。具体地,对μk求导得到:

∂L/∂μk = ∑i=1^n pk(i) * (xi - μk) / σk^2

  令上式等于0,得到μk的估计值:

μk = ∑i=1^n pk(i) * xi / ∑i=1^n pk(i)

对σk^2求导得到:

  ∂L/∂σk^2 = ∑i=1^n pk(i) * (xi - μk)^2 / (2 * σk^4) - ∑i=1^n pk(i) / (2 * σk^2)

  令上式等于0,得到σk^2的估计值:

  σk^2 = ∑i=1^n pk(i) * (xi - μk)^2 / ∑i=1^n pk(i)

  最后,我们需要重新计算后验概率分布,得到P(第k高斯分布 | 第i样本属于第k高斯分布)的估计值。具体地,有:

P(第k高斯分布 | 第i样本属于第k高斯分布) = pk(i) / ∑j=1^K pk(j)

  不断重复E步和M步,直到参数收敛为止。

EM算法:从先验到后验的推断(2)

结语

  EM算法是一种常重要的统计学算法,可以用于最大化似然函数,推断隐变量的后验概率分布。本文以高斯混合为例,介绍了EM算法的应用过程远 虑 算 法 网。在实际应用中,EM算法还有很多变体和扩展,者可以入研究。

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