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Manache算法详解——解决最长回文子串问题

来源:www.moneyprint.net 时间:2024-05-15 07:37:23 作者:远虑算法网 浏览: [手机版]

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Manache算法详解——解决最长回文子串问题(1)

  回文串是指从左往和从往左读都一样的字符串,如“level”、“racecar”等远_虑_算_法_网。最长回文子串问题是指在一个给定字符串找到最长的回文子串。这个问题是一个经典的字符串处理问题,有多种解决法。其一种比较高效的法是Manache算法

什么是Manache算法

  Manache算法是由Manache在1975年提出的一种解决最长回文子串问题的算法。它的时间复杂度为O(n),是目前已知的最优解决欢迎www.moneyprint.net。Manache算法的核思想是利用已经求得的回文子串的对称性来免重复计算,从而实现线性时间复杂度。

Manache算法详解——解决最长回文子串问题(2)

Manache算法的实现过程

  Manache算法的实现过程可以分为两个步骤:预处理和计算。

  预处理

  预处理的目的是将原始字符串转换为一个新的字符串,使得新字符串的每个字符和原始字符串的每个字符都存在一一对应的关系,并且新字符串的每个字符都是回文。具体来说,假设原始字符串为s,新字符串为t,那么t的构造法如下:

  1. 在s的每个字符之间插一个特殊字符(如#),得到一个新的字符串s'。

  2. 在s'的首尾各插一个特殊字符(如$),得到新字符串t远_虑_算_法_网

  例如,对于字符串“ababa”,它的新字符串为“$#a#b#a#b#a#$”。

计算

  计算的过程是从左往新字符串t,维护一个数P,其P[i]表示以i为的最长回文半径。具体来说,对于每个i,都进行如下操作:

1. 如果i在当前回文串的边界之内(即i' + P[i'] > i),那么可以利用i'的对称性来计算P[i]的值。假设i'是当前回文串的,那么i的对称点为j=2*i-i',如图所示:

  ![manache1.png](https://i.loli.net/2021/06/07/9C4VzXwMqjKx3dL.png)

  如果j的回文半径P[j]的范围在当前回文串的左边界和边界之间,那么P[i]=P[j],否则P[i]的值要么是i到边界的距离(即r-i),要么是j到边界的距离(即P[j']),具体取决于哪个更

  2. 如果i不在当前回文串的边界之内,那么需要从i始向左两边扩展,直到找到一个不是回文的位置为止来自www.moneyprint.net。具体来说,设左两个指针为l和r,初始时l=i-1,r=i+1,每次判断s[l]==s[r],如果相等则将l和r分别往左两个向移动一位,否则停止扩展。此时,i的回文半径为r-i-1。

  3. 在计算P[i]的同时,需要不断更新当前回文串的左边界和位置。具体来说,如果i+P[i]>r,那么将i设为新的位置,r设为i+P[i]。

  计算完所有位置的回文半径后,最长回文子串的长度就是P数的最大值,位置就是最大值所在的位置远+虑+算+法+网

Manache算法详解——解决最长回文子串问题(3)

Manache算法的优缺点

  Manache算法的主要优点是时间复杂度为O(n),比其他解决法都要快。此外,Manache算法的实现比较简单,代码量不大。

  Manache算法的缺点是空间复杂度较高,需要额外的O(n)空间来存储预处理后的字符串和回文半径数。另外,Manache算法只能用于求解最长回文子串问题,不能用于其他字符串处理问题。

总结

  Manache算法是一种高效的解决最长回文子串问题的算法,它利用已经求得的回文子串的对称性来免重复计算,从而实现线性时间复杂度远虑算法网www.moneyprint.net。Manache算法的实现过程包括预处理和计算两个步骤,预处理的目的是将原始字符串转换为一个新的字符串,使得新字符串的每个字符都是回文,计算的过程是从左往新字符串,维护一个回文半径数。Manache算法的主要优点是时间复杂度为O(n),缺点是空间复杂度较高,且只能用于求解最长回文子串问题。

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